 ===============================================================================
 «Публичная библиотека» (http://publ.lib.ru)
 ===============================================================================
 М.Я. Выгодский
 Дифференциальная геометрия
 Москва - Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949

 11-5-4

 ПРЕДИСЛОВИЕ
 В этой книге читатель найдет материал, в основном совпадающий с материалом других руководств по дифференциальной геометрии и отвечающий программам университетов и педагогических институтов. Но по методу изложения эта книга существенно отличается от упомянутых руководств.
 Обычно дифференциальная геометрия излагается аналитически; это значит, что исследуемые геометрические объекты относятся к некоторой системе координат, в результате чего решение геометрического вопроса сводится к исследованию уравнений, связывающих координаты. Плодотворность этого метода общеизвестна. Однако он имеет и свою оборотную сторону. Именно, в течение всего процесса исследования геометрические объекты и, что важнее всего, их внутренние связи оттесняются на задний план и остаются в тени. Вследствие этого утрачивается наглядность, а вместе с тем и психологическая убедительность.
 В этой книге преобладает синтетический метод; это значит, что от условия вопроса к его решению мы идем прямым путем, выполняя геометрические построения и вычисления, внутренне связанные с исследуемыми объектами. Таким образом, геометрическая фигура все время находится в поле зрения читателя.
 Синтетический метод исследования применялся в дифференциальной геометрии с самого момента ее возникновения. Но в учебной литературе он, насколько мне известно, систематически использовался лишь при изложении теории кривых. В русской же литературе до сих пор не было ни одного руководства, где хотя бы теория кривых излагалась синтетически.
 Принято думать, что доставляемое синтетическим методом преимущество наглядности покупается ценой пренебрежения строгостью. Это мнение основывается на том, что обычно при пользовании синтетическим методом одни величины заменяют другими, им эквивалентными, без достаточного обоснования такой замены. Наглядные представления делают ее довольно правдоподобной; с другой стороны, правильность полученного результата может быть строго доказана аналитически. Может быть, именно поэтому и не было сделано попытки внести в синтетические методы дифференциальной геометрии ту степень строгости, которая характеризует ее аналитические методы.

 ОГЛАВЛЕНИЕ:
 Предисловие (3).
 ВВЕДЕНИЕ.
 §1. Предмет дифференциальной геометрии (11).
 §2. О линиях (12).
 §3. Порядок малости. Эквивалентность (14).
 §4. Эквивалентные соотношения в треугольнике (17).
 §5. Пределы геометрических образов (20).
 Глава 1. КАСАТЕЛЬНАЯ И ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ ЛИНИИ.
 §6. Аналитическое представление кривой линии (26).
 §7. Касательная (35).
 §8. Уравнения касательной (41).
 §9. Касательные и нормали плоских кривых (47).
 §10. Подкасательная и поднормаль (51).
 §11. Трактриса (54).
 §12. Касательная к линии, заданной полярным свойством (56).
 §13. Полярные подкасательная и поднормаль (60).
 §14. Об определении касательной (63).
 §15. Длина дуги (65).
 §16. Определение понятия «длина дуги» (72).
 §17. Цепная линия (74).
 §18. Длина дуги как параметр (77).
 Глава II. СОПУТСТВУЮЩИЙ ТРИЕДР, КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ.
 §19. Три леммы (81).
 §20. Соприкасающаяся плоскость (83).
 §21. Сопутствующий триедр (96).
 §22. Кривизна (104).
 §23. Формулы для вычисления кривизны. Аналитический вывод теорем §22 (111).
 §24. Кривизна плоской кривой (119).
 §25. Расстояние от точки кривой до бесконечно близкой касательной (130).
 §26. Четыре леммы (133).
 §27. Эвольвента и эволюта плоской кривой (136).
 §28. Кручение (150).
 Глава III. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ.
 §29. Формулы Френе (157).
 §30. Каноническое представление кривой (161).
 §31. Оценка некоторых геометрических величин (166).
 Глава IV. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФИГУР.
 §32. Сферические индикатрисы (173).
 §33. Площади сферических фигур. Теорема Якоби (176).
 §34. Сферические эвольвенты и эволюты (186).
 Глава V. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
 §35. Натуральные уравнения плоской кривой (189).
 §36. Натуральные уравнения пространственной кривой (194).
 §37. Натуральное уравнение класса линий (202).
 Глава VI. КРИВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
 §38. О поверхностях (222).
 §39. Аналитическое представление поверхности (223).
 §40. Касательная плоскость и нормаль (235).
 §41. О требованиях, накладываемых на функцию r (и, v) (240).
 §42. Другое определение касательной плоскости (244).
 Глава VII. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
 §43. Линейный элемент и первая квадратичная форма (247).
 §44. Направления на поверхности и углы между ними (254).
 §45. Площадь кривой поверхности (258).
 §46. Об изгибании поверхностей (266).
 §47. Внутренняя геометрия поверхности (278).
 Глава VIII. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ. ЭВОЛЮТЫ.
 §48. Поверхности касательных (281).
 §49. Доказательство теорем 1 и 4 §48 (286).
 §50. Линейчатые поверхности (287).
 §51. Доказательство теоремы 2 §48 (298).
 §52. Огибаюшая однопараметрического семейства плоскостей (300).
 §53. Полярная поверхность (307).
 §54. Соприкасающаяся сфера (313).
 §55. Спрямляющая плоскость и геодезическая линия (317).
 §56. Эволюты и эвольвенты пространственных кривых (326).
 Глава IX. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА И КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ.
 §57. Расстояние от точки поверхности до касательной плоскости и вторая квадратичная форма (338).
 §58. Соприкасающийся параболоид. Три типа точек поверхности (344).
 §59. Индикатриса Дюпена. Кривизна нормальных сечений (350).
 §60. Главные направления. Формула Эйлера (355).
 §61. О предпосылках эйлерова закона распределения кривизн (358).
 §62. Аналитическое разыскание главных направлений (360).
 §63. Аналитическое разыскание главных кривизн (362).
 §64. Сопряженные направления (366).
 §65. Линии кривизны (374).
 §66. Аналитическое разыскание линий кривизны (387).
 §67. Аналитический вывод уравнения линий кривизны (394).
 §68. Сферическое изображение поверхности (395).
 §69. Асимптотические линии (401).
 §70. Новая интерпретация второй квадратичной формы (409).
 §71. Третья квадратичная форма (411).
 Глава X. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ.
 §72. Формула и теорема Менье (414).
 §73. Геодезические линии (421).
 §74. Геодезическая кривизна (426).
 §75. Изгибание полосы. Геодезические окружности Дарбу (428).
 §76. Геодезический поворот и параллельное перенесение (430).
 §77. Теоремы Гаусса и Бонне (439).
 §78 Основные формулы теории поверхностей (447).
 §79 Уравнение Гаусса (453).
 §80. Уравнения Петерсона-Майнарди (455).
 §81. Формула для геодезической кривизны (458).
 §82. Аналитическое доказательство теоремы Гаусса-Бонне (468).
 §83. Уравнение геодезической линии (465).
 §84. Геодезические параллели (468).
 §85. Поверхности постоянной гауссовой крививны. Движения поверхности по самой себе (472).
 §86. Сети Чебышева (481).
 Заключительное слово автора (496).
 Приложение. Основные сведения по векторному анализу (498).
 Алфавитный указатель (507).

 Ред. И.Н. Бронштейн
 Тех. ред. Р.П. Остроумова
 Подписано к печати 26/VIII 1949 г. Цена 16 р. 40 в. Переплет 1 р.
 Отпечатано в тип. Н-1 с матриц 16 типографии Главполиграфиздата при Совете Министров СССР, Москва.
 ===============================================================================
 *** О П И С А Н И Е * И З Д А Н И Я *** 5.4 ***
 ===============================================================================
 |ТИТУЛ ВЕБ-СТРАНИЦЫ¦ Выгодский Марк Яковлевич
 |СЕРИЯ, ГОД, НОМЕР ¦
 |АВТОРЫ... НАЗВАНИЕ¦ Выгодский М.Я._ Дифференциальная геометрия.
 |НАЗВАНИЕ ОРИГИНАЛА¦
 |ЖАНР-ФОРМА-ВИД-ТИП¦
 Автор: Марк Яковлевич Выгодский.
 |ИЗДАТЕЛЬ. - СЕРИЯ ¦ Москва - Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949
 |АВТОРЫ ФАЙЛА И OCR¦ Скан, обработка, формат Pdf: derevyaha, fire_varan, 2026
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ПАПКИ¦ Vygodskiy_Mark_Yakovlevich
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ СЕРИИ¦
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ФАЙЛА¦ Vygodskiy_M.Ya.__Differencial'naya_geometriya.(1949)
 |ДОПОЛНЕНИЯ К ИМЕНИ¦ [djv] [pdf]
 |ОСНОВНОЕ ИМЯ ОБЛ. ¦ Difg49
 |АННОТАЦИЯ ИЗДАНИЯ ¦ ИЗ ИЗДАНИЯ:
 В этой книге читатель найдет материал, в основном совпадающий с материалом других руководств по дифференциальной геометрии и отвечающий программам университетов и педагогических институтов. Но по методу изложения эта книга существенно отличается от упомянутых руководств.
 Обычно дифференциальная геометрия излагается аналитически; это значит, что исследуемые геометрические объекты относятся к некоторой системе координат, в результате чего решение геометрического вопроса сводится к исследованию уравнений, связывающих координаты. Плодотворность этого метода общеизвестна. Однако он имеет и свою оборотную сторону. Именно, в течение всего процесса исследования геометрические объекты и, что важнее всего, их внутренние связи оттесняются на задний план и остаются в тени. Вследствие этого утрачивается наглядность, а вместе с тем и психологическая убедительность.
 В этой книге преобладает синтетический метод; это значит, что от условия вопроса к его решению мы идем прямым путем, выполняя геометрические построения и вычисления, внутренне связанные с исследуемыми объектами. Таким образом, геометрическая фигура все время находится в поле зрения читателя.
 |СОДЕРЖАНИЕ ИЗДАНИЯ¦ ОГЛАВЛЕНИЕ:
 Предисловие (3).
 ВВЕДЕНИЕ.
 §1. Предмет дифференциальной геометрии (11).
 §2. О линиях (12).
 §3. Порядок малости. Эквивалентность (14).
 §4. Эквивалентные соотношения в треугольнике (17).
 §5. Пределы геометрических образов (20).
 Глава 1. КАСАТЕЛЬНАЯ И ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ ЛИНИИ.
 §6. Аналитическое представление кривой линии (26).
 §7. Касательная (35).
 §8. Уравнения касательной (41).
 §9. Касательные и нормали плоских кривых (47).
 §10. Подкасательная и поднормаль (51).
 §11. Трактриса (54).
 §12. Касательная к линии, заданной полярным свойством (56).
 §13. Полярные подкасательная и поднормаль (60).
 §14. Об определении касательной (63).
 §15. Длина дуги (65).
 §16. Определение понятия «длина дуги» (72).
 §17. Цепная линия (74).
 §18. Длина дуги как параметр (77).
 Глава II. СОПУТСТВУЮЩИЙ ТРИЕДР, КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ.
 §19. Три леммы (81).
 §20. Соприкасающаяся плоскость (83).
 §21. Сопутствующий триедр (96).
 §22. Кривизна (104).
 §23. Формулы для вычисления кривизны. Аналитический вывод теорем §22 (111).
 §24. Кривизна плоской кривой (119).
 §25. Расстояние от точки кривой до бесконечно близкой касательной (130).
 §26. Четыре леммы (133).
 §27. Эвольвента и эволюта плоской кривой (136).
 §28. Кручение (150).
 Глава III. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ.
 §29. Формулы Френе (157).
 §30. Каноническое представление кривой (161).
 §31. Оценка некоторых геометрических величин (166).
 Глава IV. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФИГУР.
 §32. Сферические индикатрисы (173).
 §33. Площади сферических фигур. Теорема Якоби (176).
 §34. Сферические эвольвенты и эволюты (186).
 Глава V. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
 §35. Натуральные уравнения плоской кривой (189).
 §36. Натуральные уравнения пространственной кривой (194).
 §37. Натуральное уравнение класса линий (202).
 Глава VI. КРИВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
 §38. О поверхностях (222).
 §39. Аналитическое представление поверхности (223).
 §40. Касательная плоскость и нормаль (235).
 §41. О требованиях, накладываемых на функцию r (и, v) (240).
 §42. Другое определение касательной плоскости (244).
 Глава VII. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
 §43. Линейный элемент и первая квадратичная форма (247).
 §44. Направления на поверхности и углы между ними (254).
 §45. Площадь кривой поверхности (258).
 §46. Об изгибании поверхностей (266).
 §47. Внутренняя геометрия поверхности (278).
 Глава VIII. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ. ЭВОЛЮТЫ.
 §48. Поверхности касательных (281).
 §49. Доказательство теорем 1 и 4 §48 (286).
 §50. Линейчатые поверхности (287).
 §51. Доказательство теоремы 2 §48 (298).
 §52. Огибаюшая однопараметрического семейства плоскостей (300).
 §53. Полярная поверхность (307).
 §54. Соприкасающаяся сфера (313).
 §55. Спрямляющая плоскость и геодезическая линия (317).
 §56. Эволюты и эвольвенты пространственных кривых (326).
 Глава IX. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА И КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ.
 §57. Расстояние от точки поверхности до касательной плоскости и вторая квадратичная форма (338).
 §58. Соприкасающийся параболоид. Три типа точек поверхности (344).
 §59. Индикатриса Дюпена. Кривизна нормальных сечений (350).
 §60. Главные направления. Формула Эйлера (355).
 §61. О предпосылках эйлерова закона распределения кривизн (358).
 §62. Аналитическое разыскание главных направлений (360).
 §63. Аналитическое разыскание главных кривизн (362).
 §64. Сопряженные направления (366).
 §65. Линии кривизны (374).
 §66. Аналитическое разыскание линий кривизны (387).
 §67. Аналитический вывод уравнения линий кривизны (394).
 §68. Сферическое изображение поверхности (395).
 §69. Асимптотические линии (401).
 §70. Новая интерпретация второй квадратичной формы (409).
 §71. Третья квадратичная форма (411).
 Глава X. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ.
 §72. Формула и теорема Менье (414).
 §73. Геодезические линии (421).
 §74. Геодезическая кривизна (426).
 §75. Изгибание полосы. Геодезические окружности Дарбу (428).
 §76. Геодезический поворот и параллельное перенесение (430).
 §77. Теоремы Гаусса и Бонне (439).
 §78 Основные формулы теории поверхностей (447).
 §79 Уравнение Гаусса (453).
 §80. Уравнения Петерсона-Майнарди (455).
 §81. Формула для геодезической кривизны (458).
 §82. Аналитическое доказательство теоремы Гаусса-Бонне (468).
 §83. Уравнение геодезической линии (465).
 §84. Геодезические параллели (468).
 §85. Поверхности постоянной гауссовой крививны. Движения поверхности по самой себе (472).
 §86. Сети Чебышева (481).
 Заключительное слово автора (496).
 Приложение. Основные сведения по векторному анализу (498).
 Алфавитный указатель (507).
 ===============================================================================